Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

3

$3$ ist die

3 \times 3

$3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze

A

$A$ durch

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze

I_{3}

$I_{3}$ durch

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere

$1$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere

$2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere

$2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere

$49$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.3

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Multipliziere

$(4 - λ) (4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Subtrahiere

$4 λ$ von

$- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere

$- 49$ mit

$1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49) + 0$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere

$49$ von

$16$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} - 33) + 0$

Schritt 5.4.2.3

Stelle

$- 8 λ$ und

$λ^{2}$ um.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$ .

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Schritt 5.5.1.1

Addiere

$0$ und

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

Schritt 5.5.1.2

Addiere

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ und

$0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$

Schritt 5.5.2

Multipliziere

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 33$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3

Multipliziere

$λ$ mit

$λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.3.1

Bewege

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3.2

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$λ$ .

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Schritt 5.5.3.3.2.1

Potenziere

$λ$ mit

$1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.7

Mutltipliziere

$- 33$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} + 33 λ$

Schritt 5.5.4

Addiere

$3 λ^{2}$ und

$8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 33 λ$

Schritt 5.5.5

Addiere

$- 24 λ$ und

$33 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - 99 - λ^{3}$

Schritt 5.5.6

Bewege

$- 99$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - λ^{3} - 99$

Schritt 5.5.7

Bewege

$9 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} + 9 λ - 99$

Schritt 5.5.8

Stelle

$11 λ^{2}$ und

$- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich

$0$ , um die Eigenwerte

$λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99 = 0$

Schritt 7

Löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- λ^{3} + 11 λ^{2}) + 9 λ - 99 = 0$

Schritt 7.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$λ^{2} (- λ + 11) - 9 (- λ + 11) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

$- λ + 11$ .

$(- λ + 11) (λ^{2} - 9) = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe

$9$ als

$3^{2}$ um.

$(- λ + 11) (λ^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = λ$ und

$b = 3$ .

$(- λ + 11) ((λ + 3) (λ - 3)) = 0$

Schritt 7.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$- λ + 11 = 0$

$λ + 3 = 0$

$λ - 3 = 0$

Schritt 7.3

Setze

$- λ + 11$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze

$- λ + 11$ gleich

$0$ .

$- λ + 11 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse

$- λ + 11 = 0$ nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere

$11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- λ = - 11$

Schritt 7.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$- λ = - 11$ durch

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- λ = - 11$ durch

$- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.2.2

Dividiere

$λ$ durch

$1$ .

$λ = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.2.3.1

Dividiere

$- 11$ durch

$- 1$ .

$λ = 11$

Schritt 7.4

Setze

$λ + 3$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze

$λ + 3$ gleich

$0$ .

$λ + 3 = 0$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 3$

Schritt 7.5

Setze

$λ - 3$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze

$λ - 3$ gleich

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$ wahr machen.

$λ = 11, - 3, 3$